Zahlenrätsel (nicht nur) für Steffi

Zitat:

Original von aranja Zitat: Original von Mütze Kann es sein, dass du die Dicke des Drahtes nicht berücksichtigt hast? die habe ich berücksichtigt, freilich nur an zwei benachbarten seiten.

Dann schreibe ich mal meine Lösung hin:

Der Maschendrahtzaun hat ein Muster dass sich nach 80+3 mm
wiederholt. In jedem 83*83 mm^2 großem Quadrat sind 80*80 mm^2
"Luft". Da der Ball 43 mm Durchmesser hat, ist davon eine Fläche
von (80-43)*(80-43) mm^2 günstig für den Durchflug des Balles.
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball durch den Zaun
fliegt, 37*37/(83*83) = 19.9 %.

Gruß,
Mütze

Zitat:

Original von Der Nachzügler Zitat: Original von Guybrush Zu den Aufgaben vom BWM fiel mir grad die ein: (Lösung lässt sich erprobieren, zum strengen Beweis brauchts ein wenig Ableiten) Steffi mag Teilen. Heute hat sie die Zahl 10000. Sie möchte sie so in positive Summanden zerlegen, dass deren Produkt maximal wird. Wieviele und welche Summanden sind es dann? die ungünstigste teilung ist wohl 9999 und 1 ---> Produkt = 9999 die nächst-ungünstigste ist 9998 und 2 ---> Produkt = 19998 das heißt für mich, dass das produkt immer größer wird, je kleiner ich die zahl unterteile. da die 1 als produkt nichts bringt, ist die 2 der wohl beste summand. die 2 ist in 10000 genau 5000 mal enthalten, somit ist das größtmögliche produkt 2 hoch 5000. oder mache ich da nen denkfehler?

Ja, da gibt es einen Denkfehler, aber der Ansatz ist schon einmal super.
Die beste Lösung hat mehr als 80 Ziffern mehr als 2^5000.

Gruß,
Mütze

@aranja: 2-4 Wochen Da hatte ich ja ganz andere Vorstellungen, aber ist mir natürlich recht, wenn nicht sogar lieber...
@Nachzügler:
Es gibt noch weit ungünstigere Teilungen als 1 und 9999

Mal zur Abwechslung was in 3D:
Steffi mag Geometrie (hat sie selbst gesagt ).
Bekanntlich ist die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks 180° oder in der natürlicheren Einheit des Bogenmaßes, d.h. der Bogenlänge auf dem Einheitskreis, pi.
Der Raumwinkel z.B. eines Kegels ist nun analog die Fläche die der Winkel auf der Oberfläche der Einheitskugel einschließt. Der volle Raumwinkel ist somit 4*pi. (r=1)
Nun die Frage:
Haben beliebige Tetraeder dieselbe Innenraumwinkelsumme?

edit: 180° entsprechen pi, nicht 2 pi. Und natürlich wäre eine kurze Begründung zur ja/nein-Antwort nett.

Hier ist was zum Grübeln. Ist zwar nur geklaut, aber hoffentlich so gut verkleidet, dass es nicht alle wiedererkennen...

Steffi ist heute Kandidatin bei einer Spiel-Show und hat die Endaufgabe gelöst. Die Moderatorin, aranja , stellt sie vor zwei Tore und sagt:
"Hinter einem dieser Tore ist etwas von doppelt so großem Wert wie hinter dem anderen."
Steffi überlegt lange und entscheidet sich für Tor 1. Es geht auf und dahinter ist ein brandneues Luxusauto im Wert von €100.000!
Aranja bietet ihr nun für läppische €10 die einmalige Möglichkeit an, das Tor zu wechseln. In diesem Fall muss Steffi nehmen, was hinter Tor 2 ist.
Sollte Steffi das Angebot annehmen?

Zitat:

Original von Guybrush Nun die Frage: Haben beliebige Tetraeder dieselbe Innenraumwinkelsumme?

mit einer 50/50-tippwahrscheinlichkeit machst du uns
die beantwortung (ausnahmsweise ) ziemlich leicht.

Zitat:

Original von Guybrush Hier ist was zum Grübeln. Ist zwar nur geklaut, aber hoffentlich so gut verkleidet, dass es nicht alle wiedererkennen... Steffi ist heute Kandidatin bei einer Spiel-Show und hat die Endaufgabe gelöst. Die Moderatorin, aranja , stellt sie vor zwei Tore und sagt: "Hinter einem dieser Tore ist etwas von doppelt so großem Wert wie hinter dem anderen." Steffi überlegt lange und entscheidet sich für Tor 1. Es geht auf und dahinter ist ein brandneues Luxusauto im Wert von €100.000! Aranja bietet ihr nun für läppische €10 die einmalige Möglichkeit an, das Tor zu wechseln. In diesem Fall muss Steffi nehmen, was hinter Tor 2 ist. Sollte Steffi das Angebot annehmen?

warum sollte ich Steffi dafür 10 euro abverlangen?
das würde ich jederzeit gerne gratis tun.

ich habe mir einmal die im web zugänglichen aufgaben und lösungen
der letzten jahre vom bundeswettbewerb mathematik angeschaut.
ich bin beeindruckt.

mag sich jemand hier an den aufgaben
der ersten runde für 2008 versuchen?

Zitat:

Original von Guybrush Hier ist was zum Grübeln. Ist zwar nur geklaut, aber hoffentlich so gut verkleidet, dass es nicht alle wiedererkennen... Steffi ist heute Kandidatin bei einer Spiel-Show und hat die Endaufgabe gelöst. Die Moderatorin, aranja , stellt sie vor zwei Tore und sagt: "Hinter einem dieser Tore ist etwas von doppelt so großem Wert wie hinter dem anderen." Steffi überlegt lange und entscheidet sich für Tor 1. Es geht auf und dahinter ist ein brandneues Luxusauto im Wert von €100.000! Aranja bietet ihr nun für läppische €10 die einmalige Möglichkeit an, das Tor zu wechseln. In diesem Fall muss Steffi nehmen, was hinter Tor 2 ist. Sollte Steffi das Angebot annehmen?

Ja. Wenn das Auto der wertvollere Gewinn ist, dann bekommt Steffi einen Gewinn von 50.000 Euro. Das Auto könnte aber auch der "wertlosere" Gewinn sein. Dann würde Steffi was für 200.000 Euro gewinnen. Das ergibt für das andere Tor einen Erwartungswert von 125.000 Euro, der somit höher ist als der Wert des Autos.

Zitat:

Original von aranja Zitat: Original von Guybrush Nun die Frage: Haben beliebige Tetraeder dieselbe Innenraumwinkelsumme? mit einer 50/50-tippwahrscheinlichkeit machst du uns die beantwortung (ausnahmsweise ) ziemlich leicht.

Aufgabenstellung ergänzt!

Zitat:

Original von aranja ich habe mir einmal die im web zugänglichen aufgaben und lösungen der letzten jahre vom bundeswettbewerb mathematik angeschaut. ich bin beeindruckt. mag sich jemand hier an den aufgaben der ersten runde für 2008 versuchen?

Ich kann Tipps zur 1, 2 und 4 geben. Die Geometrieaufgabe liegt mir nicht so. Ich find das ist mehr harte Fleißarbeit, während die anderen mit einer richtigen Idee schnell gehen.

@Poldi: Super, die Diskussion ist eröffnet. Sind alle Poldis Meinung, oder gibt es Gegenargumente?

Zitat:

Original von Poldi Zitat: Original von Guybrush Hier ist was zum Grübeln. Ist zwar nur geklaut, aber hoffentlich so gut verkleidet, dass es nicht alle wiedererkennen... Steffi ist heute Kandidatin bei einer Spiel-Show und hat die Endaufgabe gelöst. Die Moderatorin, aranja , stellt sie vor zwei Tore und sagt: "Hinter einem dieser Tore ist etwas von doppelt so großem Wert wie hinter dem anderen." Steffi überlegt lange und entscheidet sich für Tor 1. Es geht auf und dahinter ist ein brandneues Luxusauto im Wert von €100.000! Aranja bietet ihr nun für läppische €10 die einmalige Möglichkeit an, das Tor zu wechseln. In diesem Fall muss Steffi nehmen, was hinter Tor 2 ist. Sollte Steffi das Angebot annehmen? Ja. Wenn das Auto der wertvollere Gewinn ist, dann bekommt Steffi einen Gewinn von 50.000 Euro. Das Auto könnte aber auch der "wertlosere" Gewinn sein. Dann würde Steffi was für 200.000 Euro gewinnen. Das ergibt für das andere Tor einen Erwartungswert von 125.000 Euro, der somit höher ist als der Wert des Autos.

sollte sie das angebot wirklich annehmen?
Steffi hat bereits ein auto im wert von €100.000 gewonnen.
sie KANN - mit einer 50/50-chance - diesen gewinn verdoppeln
oder halbieren. in jedem fall zahlt sie 10 euro.
ich würde es ablehnen.

Zitat:

Original von aranja sollte sie das angebot wirklich annehmen? Steffi hat bereits ein auto im wert von €100.000 gewonnen. sie KANN - mit einer 50/50-chance - diesen gewinn verdoppeln oder halbieren. in jedem fall zahlt sie 10 euro. ich würde es ablehnen.

Was Poldi meint, ist, glaube ich, dass die Chancen 50/50 stehen, aber der mögliche Gewinn höher ist als der mögliche Verlust, Steffi im Mittel also gewinnen würde.
In Formeln: (X = Gewinn nach einem Wechsel)
E(X) = 1/2 * 50.000 + 1/2 * 200.000 = 125.000 > 100.000
-> Wechseln sinnvoll

Um ein Gegenargument zum Wechseln zu sehen, kann man sich mal dieselbe Situation überlegen, wenn Steffi Tor 1 zwar auswählt, aber das Tor noch nicht geöffnet wird. Sollte Steffi dann Tore wechseln? In dem Fall erlaube ihr aranja großzügigerweise sogar, sooft sie will, ohne Gebühr Tore zu wechseln...

Schafeproblem in abgewandelter Form? ich wechsel nur, wenn hinter einem der Tore Mona ist

Zitat:

Original von aranja Zitat: Original von Poldi Zitat: Original von Guybrush Hier ist was zum Grübeln. Ist zwar nur geklaut, aber hoffentlich so gut verkleidet, dass es nicht alle wiedererkennen... Steffi ist heute Kandidatin bei einer Spiel-Show und hat die Endaufgabe gelöst. Die Moderatorin, aranja , stellt sie vor zwei Tore und sagt: "Hinter einem dieser Tore ist etwas von doppelt so großem Wert wie hinter dem anderen." Steffi überlegt lange und entscheidet sich für Tor 1. Es geht auf und dahinter ist ein brandneues Luxusauto im Wert von €100.000! Aranja bietet ihr nun für läppische €10 die einmalige Möglichkeit an, das Tor zu wechseln. In diesem Fall muss Steffi nehmen, was hinter Tor 2 ist. Sollte Steffi das Angebot annehmen? Ja. Wenn das Auto der wertvollere Gewinn ist, dann bekommt Steffi einen Gewinn von 50.000 Euro. Das Auto könnte aber auch der "wertlosere" Gewinn sein. Dann würde Steffi was für 200.000 Euro gewinnen. Das ergibt für das andere Tor einen Erwartungswert von 125.000 Euro, der somit höher ist als der Wert des Autos. sollte sie das angebot wirklich annehmen?

Na klar sollte sie es annehmen. Sie bekommt 10 Euro UND (jetzt der wichtigere Teil) - wie es Guybrush vollkommen richtig zusammengefasst hat - ist der mögliche Gewinn höher als der mögliche Verlust. Wenn Steffi nun natürlich Risikoavers ist, dann behält sie ihren Gewinn auf jeden Fall, aber wir wollen es ja nicht komplizierter machen als es schon ist....


Problem ohne vorheriges Öffnen von Tor 1: (Guybrush 5b)
die Situation ist nun eine andere. In beiden Toren kann der wertvollere Gewinn sein. Und da beide Tore die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kann sie - solange kein Tor geöffnet ist - so oft hin und herwechseln wie sie will. Die Wahrscheinlichkeit den teureren Gewinn zu erwischen beträgt immer 50%.

Zitat:

Original von Poldi Zitat: Original von aranja sollte sie das angebot wirklich annehmen? Na klar sollte sie es annehmen. Sie bekommt 10 Euro

hä?

Zitat:

Original von Poldi Zitat: Original von Guybrush Aranja bietet ihr nun für läppische €10 die einmalige Möglichkeit an, das Tor zu wechseln. Na klar sollte sie es annehmen. Sie bekommt 10 Euro UND (jetzt der wichtigere Teil) - wie es Guybrush vollkommen richtig zusammengefasst hat - ist der mögliche Gewinn höher als der mögliche Verlust. Wenn Steffi nun natürlich Risikoavers ist, dann behält sie ihren Gewinn auf jeden Fall, aber wir wollen es ja nicht komplizierter machen als es schon ist.... Problem ohne vorheriges Öffnen von Tor 1: (Guybrush 5b) die Situation ist nun eine andere. In beiden Toren kann der wertvollere Gewinn sein. Und da beide Tore die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kann sie - solange kein Tor geöffnet ist - so oft hin und herwechseln wie sie will. Die Wahrscheinlichkeit den teureren Gewinn zu erwischen beträgt immer 50%.

Mooment, natürlich meinte ich mit "für €10", dass Steffi €10 blecht, gibt hier nix umsonst, naja, außer dem Preis...
Und um dich bei 5b vielleicht wieder etwas zu verwirren:
Angenommen hinter Tor 1 wäre ein Preis im Wert x. Dann ist hinter Tor 2 mit 50/50 ein Preis vom Wert x/2 oder 2*x. Im Mittel also wieder 5/4*x > x (x natürlich positiv). Also lohnt sich für Steffi das Wechseln doch! Oder?

So, Mütze hat ja schon das großenteils im Forum gelöst und den Rest per PN nachgereicht, also hier die gedachte Lösung:
1.) Aufteilen in nur ganze, positive Zahlen:
Summanden 1 sind, wie Nachzügler schon bemerkte, nicht sehr nützlich, da man sie besser auf andere Summanden draufaddieren sollte, um das Produkt zu vergrößern. Genauso kann man Summanden N>3 in zwei Summanden N-2 und 2 unterteilen und erhält ein mindestens genauso großes Produkt. Damit bleiben nur 2 und 3 als sinnvolle Summanden. Wegen 3*3 > 2*2*2 sollte man maximal 2 mal die 2 verwenden. Damit erhalten wir als optimale Aufteilung 10.000 = 3+3+3+...+3+2+2 = 3332*3+2*2.
Das Produkt hatte Mütze ausgerechnet.
2.) Aufteilen in beliebige positive Zahlen:
In diesem Fall sieht man wegen (a+x)*(a-x) = a^2 - x^2 leicht, dass alle Summanden gleich sein sollten, damit das Produkt maximal ist. Bleibt die Frage, wieviele Summanden es sein sollten. Dazu kann man (10.000/x)^x ableiten. Hierbei ist x = Anzahl der Summanden zunächst reell. Man erhält x = 10.000/e = 3678.79... Die optimale Summandenzahl ist 3679 mit dem Produkt 4.7875 E+1597

Zitat:

Original von Mütze Zitat: Original von aranja Zitat: Original von Mütze Kann es sein, dass du die Dicke des Drahtes nicht berücksichtigt hast? die habe ich berücksichtigt, freilich nur an zwei benachbarten seiten. Dann schreibe ich mal meine Lösung hin: Der Maschendrahtzaun hat ein Muster dass sich nach 80+3 mm wiederholt. In jedem 83*83 mm^2 großem Quadrat sind 80*80 mm^2 "Luft". Da der Ball 43 mm Durchmesser hat, ist davon eine Fläche von (80-43)*(80-43) mm^2 günstig für den Durchflug des Balles. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball durch den Zaun fliegt, 37*37/(83*83) = 19.9 %. Gruß, Mütze

stimmt genau, Mütze, GW!

(jetzt komme ich zum gleichen ergebnis wie du. habe mich wohl bei meiner ersten berechnung irgendwo vertippt.)

Zitat:

Original von Guybrush Mooment, natürlich meinte ich mit "für €10", dass Steffi €10 blecht, gibt hier nix umsonst, naja, außer dem Preis...

Ok. Ändert aber nichts am Ergebnis..... außer daß der Erwartungswert des anderen Tors nur 124.900 statt 125.100 Euro beträgt....

Zitat:

Original von Poldi Problem ohne vorheriges Öffnen von Tor 1: (Guybrush 5b) die Situation ist nun eine andere. In beiden Toren kann der wertvollere Gewinn sein. Und da beide Tore die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kann sie - solange kein Tor geöffnet ist - so oft hin und herwechseln wie sie will. Die Wahrscheinlichkeit den teureren Gewinn zu erwischen beträgt immer 50%.

Ich find, die Situation ist die gleiche wie in 5a.
Hinter Tor 1 wird irgendein Preis vom Wert x sein. Und mit der gleichen Argumentation wie oben sollte man doch dann wechseln... (man erwartet hinter Tor 2 dann 1.25*x als Gewinn)

Zitat:

Original von Guybrush Zitat: Original von Poldi Problem ohne vorheriges Öffnen von Tor 1: (Guybrush 5b) die Situation ist nun eine andere. In beiden Toren kann der wertvollere Gewinn sein. Und da beide Tore die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kann sie - solange kein Tor geöffnet ist - so oft hin und herwechseln wie sie will. Die Wahrscheinlichkeit den teureren Gewinn zu erwischen beträgt immer 50%. Ich find, die Situation ist die gleiche wie in 5a. Hinter Tor 1 wird irgendein Preis vom Wert x sein. Und mit der gleichen Argumentation wie oben sollte man doch dann wechseln... (man erwartet hinter Tor 2 dann 1.25*x als Gewinn)

Wenn ich nochmal drüber nachdenke, hast Du recht.... ob man öffnet oder nicht ist vollkommen egal....