Zahlenrätsel (nicht nur) für Steffi

Ich habe hier mal was aus der Zeit der Burgen und Ritter:

Ein Mann möchte gerne eine Burg betreten. Davor steht jedoch ein Wächter und so beschließt der Mann, sich im Gebüsch zu verstecken und das Szenario zunächst mal zu beobachten.....

Kurz darauf geht ein Mann auf das Burgtor zu. Der Wächter richtet seine Lanze auf ihn und fragt: "Was ist die Antwort auf 28?" .Der Mann überlegt kurz, dann antwortet er mit "14" und wird vom Wächter durchgelassen.

Dann kommt ein altes Weib aufs Burgtor zu. Auch hier richtet der Wächter wieder seine Lanze auf sie und fragt sie: "Was ist die Antwort auf 8 ? ". Sie antwortet "4" und wird durch gelassen.

Als drittes kommt ein Händler mit seinem Warenkorb aufs Burgtor zu. Wieder dasselbe. Der Wächter richtet seine Lanze auf ihn und fragt den Händler: "Was ist die Antwort auf 16 ?". Der antwortet mit 8 und wird ebenfalls durch gelassen.

Jetzt hat der Mann im Gebüsch genug gehört. Er klettert aus seinem Versteck und geht aufs Burgtor zu. Der Wächter richtet seine Lanze auf ihn und fragt ihn: "Was ist die Antwort auf 14?". Gelassen antwortet er "7" und spürt, wie der Wächter grimmig dreinschaut und wie sich der Druck der Lanzenspitze auf seinem Brustbein deutlich erhöht ....

Was hatte er nur falsch gemacht?

Was hatte er nur falsch gemacht?

er hat sich um eins verzählt

Zitat:

Original von rgm Was hatte er nur falsch gemacht? er hat sich um eins verzählt

...und nicht bei der Konkurrenz gerätselt

Konkurrenz ? du meinst doch nicht etwa die schwarze Seite ?

Zitat:

Original von Poldi Zitat: Original von Guybrush Zitat: Original von Poldi Problem ohne vorheriges Öffnen von Tor 1: (Guybrush 5b) die Situation ist nun eine andere. In beiden Toren kann der wertvollere Gewinn sein. Und da beide Tore die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kann sie - solange kein Tor geöffnet ist - so oft hin und herwechseln wie sie will. Die Wahrscheinlichkeit den teureren Gewinn zu erwischen beträgt immer 50%. Ich find, die Situation ist die gleiche wie in 5a. Hinter Tor 1 wird irgendein Preis vom Wert x sein. Und mit der gleichen Argumentation wie oben sollte man doch dann wechseln... (man erwartet hinter Tor 2 dann 1.25*x als Gewinn) Wenn ich nochmal drüber nachdenke, hast Du recht.... ob man öffnet oder nicht ist vollkommen egal....

Ok, dann bring ich mal ein Argument dafür, dass Wechseln keinen Sinn macht:
Angenommen hinter Tor 2 ist x. Dann ist mit 50/50 hinter Tor 1 x/2 oder 2*x. Man verliert nun mehr als man gewinnt beim Wechseln von 1 auf 2. Daher lieber nicht wechseln! Oder?

@Nachzüglers Aufgabe: Das war aber morgens um halb 10 in Deutschland, oder? Bei König Arthur hätte er wohl 6 und 12 gefragt...

Zitat:

Original von Guybrush Zitat: Original von Poldi Zitat: Original von Guybrush Zitat: Original von Poldi Problem ohne vorheriges Öffnen von Tor 1: (Guybrush 5b) die Situation ist nun eine andere. In beiden Toren kann der wertvollere Gewinn sein. Und da beide Tore die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kann sie - solange kein Tor geöffnet ist - so oft hin und herwechseln wie sie will. Die Wahrscheinlichkeit den teureren Gewinn zu erwischen beträgt immer 50%. Ich find, die Situation ist die gleiche wie in 5a. Hinter Tor 1 wird irgendein Preis vom Wert x sein. Und mit der gleichen Argumentation wie oben sollte man doch dann wechseln... (man erwartet hinter Tor 2 dann 1.25*x als Gewinn) Wenn ich nochmal drüber nachdenke, hast Du recht.... ob man öffnet oder nicht ist vollkommen egal.... Ok, dann bring ich mal ein Argument dafür, dass Wechseln keinen Sinn macht: Angenommen hinter Tor 2 ist x. Dann ist mit 50/50 hinter Tor 1 x/2 oder 2*x. Man verliert nun mehr als man gewinnt beim Wechseln von 1 auf 2. Daher lieber nicht wechseln! Oder?

Die Überlegung hatte ich auch schon, aber der Wert von Tor 1 steht doch schon fest. Egal, ob Du nun das Tor geöffnet hast oder nicht, d.h. solange Du Tor 1 gewählt hast, ist der Erwartungswert von Tor 1 immer x.

Zitat:

Original von Poldi Zitat: Original von Guybrush Ok, dann bring ich mal ein Argument dafür, dass Wechseln keinen Sinn macht: Angenommen hinter Tor 2 ist x. Dann ist mit 50/50 hinter Tor 1 x/2 oder 2*x. Man verliert nun mehr als man gewinnt beim Wechseln von 1 auf 2. Daher lieber nicht wechseln! Oder? Die Überlegung hatte ich auch schon, aber der Wert von Tor 1 steht doch schon fest. Egal, ob Du nun das Tor geöffnet hast oder nicht, d.h. solange Du Tor 1 gewählt hast, ist der Erwartungswert von Tor 1 immer x.

Der Wert von Tor 2 steht doch auch schon vorher fest (unabhängig davon, dass Steffi ausgerechnet Tor 1 vorgemerkt hat). Nennen wir ihn zur besseren Unterscheidung vielleicht y. Naja, wie auch immer, egal von welchem Tor man ausgeht, immer erscheint das Wechseln aufs jeweils andere Tor sinnvoll.

Zitat:

Original von Guybrush Zitat: Original von Poldi Zitat: Original von Guybrush Ok, dann bring ich mal ein Argument dafür, dass Wechseln keinen Sinn macht: Angenommen hinter Tor 2 ist x. Dann ist mit 50/50 hinter Tor 1 x/2 oder 2*x. Man verliert nun mehr als man gewinnt beim Wechseln von 1 auf 2. Daher lieber nicht wechseln! Oder? Die Überlegung hatte ich auch schon, aber der Wert von Tor 1 steht doch schon fest. Egal, ob Du nun das Tor geöffnet hast oder nicht, d.h. solange Du Tor 1 gewählt hast, ist der Erwartungswert von Tor 1 immer x. Der Wert von Tor 2 steht doch auch schon vorher fest (unabhängig davon, dass Steffi ausgerechnet Tor 1 vorgemerkt hat). Nennen wir ihn zur besseren Unterscheidung vielleicht y. Naja, wie auch immer, egal von welchem Tor man ausgeht, immer erscheint das Wechseln aufs jeweils andere Tor sinnvoll.

Natürlich steht der Wert von beiden Toren von Anfang an fest, nur eben nicht subjektiv für Steffi. Wenn sie sich für ein Tor entscheidet, steht bereits ein Wert endgültig für sie fest, während der des anderen Tores höher oder niedriger sein kann, aber vom Erwartungswert eben höher ist. Ich verdeutliche das mal am Besipiel mit geöffnetem Tor: Steffi wählt Tor 1, Wert 100.00 Euro. Damit ist der Wert dieses Tores fest. Der des anderen jedoch nicht. Der kann höher (200.000) oder niedriger (50.000) sein. Der Erwartungswert (125.000) ist jedoch höher, so daß Steffi das Tor wechseln wird. Gleiches gilt wenn das Tor nicht geöffnet wird. Dann hat das Tor, das Steffi gewählt hat, den festen Wert X und das andere Tor entweder 2X oder 0,5X (E=1,25X)

Zitat:

Original von Poldi Natürlich steht der Wert von beiden Toren von Anfang an fest, nur eben nicht subjektiv für Steffi. Wenn sie sich für ein Tor entscheidet, steht bereits ein Wert endgültig für sie fest, während der des anderen Tores höher oder niedriger sein kann, aber vom Erwartungswert eben höher ist. Ich verdeutliche das mal am Besipiel mit geöffnetem Tor: Steffi wählt Tor 1, Wert 100.00 Euro. Damit ist der Wert dieses Tores fest. Der des anderen jedoch nicht. Der kann höher (200.000) oder niedriger (50.000) sein. Der Erwartungswert (125.000) ist jedoch höher, so daß Steffi das Tor wechseln wird. Gleiches gilt wenn das Tor nicht geöffnet wird. Dann hat das Tor, das Steffi gewählt hat, den festen Wert X und das andere Tor entweder 2X oder 0,5X (E=1,25X)

Mal mein Argument anders ausgedrückt: Lassen wir die Tore erst mal zu. Steffi wählt eins aus. Dann kann es aus Symmetrie (Tore sind ununterscheidbar) von vornherein keinen Unterschied machen, welches Tor sie zuerst auswählt, sie kann in beiden Fällen gleich viel Gewinn erwarten. Das Wechseln nach der ersten Wahl darf also keinen Gewinn bringen. Diese Tatsache verändert sich auch durch das Öffnen des Tores nicht. D'accord?

Zitat:

Original von Guybrush Mal mein Argument anders ausgedrückt: Lassen wir die Tore erst mal zu. Steffi wählt eins aus. Dann kann es aus Symmetrie (Tore sind ununterscheidbar) von vornherein keinen Unterschied machen, welches Tor sie zuerst auswählt, sie kann in beiden Fällen gleich viel Gewinn erwarten. Das Wechseln nach der ersten Wahl darf also keinen Gewinn bringen. Diese Tatsache verändert sich auch durch das Öffnen des Tores nicht. D'accord?

Solange Steffi noch kein Tor ausgewählt hat ja, wenn sie eins gewählt hat nein

Klar ist, daß solange Steffi kein Tor gewählt hat, beide Tore gleichwertig sind. Da sind wir uns sicher einig. Hat Steffi jedoch ein Tor ausgewählt, sind meiner Meinung die Tore nicht mehr gleichwertig. Tor 1 hat dann den unveränderlichen Erwartungswert X (den Steffi zwar noch nicht kennt, aber der trotzdem unveränderlich ist) und Tor 2 den Erwartungswert 1,25X (=Y). Deiner Argumentation zufolge müsste dann Tor 1 ja den Erwartungswert 1,25Y (=1,5625X) haben, was aber größer als X ist. Ergo müßten - damit die Gleichung aufgehen kann - beide Werte 0 Euro betragen.....

Klar ist, daß solange Steffi kein Tor gewählt hat, beide Tore gleichwertig sind. Da sind wir uns sicher einig. Hat Steffi jedoch ein Tor ausgewählt, sind meiner Meinung die Tore nicht mehr gleichwertig.

nenn mich doof, aber was soll sich an der Gleichwertigkeit der Tore ändern, nur weil Steffi eins gewählt hat ?
Steffi steht vor 2 Toren, die Chance das wertvollere Tor zu wählen ist 50:50, oder ?
Wenn sie nun eins wählt ist die Chance immer noch 50:50 das wertvollere getroffen zu haben, wozu also wechseln ?

Das hat was mit objektiver Wahrscheinlichkeit und "subjektivem" Erwartungswert zu tun

ahhso, soll heißen subjektiv bin ich wahrscheinlich zu doof,
objektiv bin ich tatsächlich zu doof

Du hasts erfasst..... aber so langsam hab ich auch den Überblick verloren.... danke Guybrush

Okay, dann will ich euch mal nicht länger auf die Folter spannen...
Das intuitive (?) Ergebnis, dass Wechseln keinen Sinn macht, ist richtig, denn man kann hier nicht wie gewohnt mit Erwartungswerten rechnen. Wer es nicht schon so gefunden hat, kann sich unter Umtauschparadoxon schlau lesen.

Das intuitive (?) Ergebnis, dass Wechseln keinen Sinn macht, ist richtig.


sag ich doch

Aktuell inspiriert:

Steffi schreibt ihrer Brieffreundin Anna vom Planeten Mars. Dort haben alle zwölf Finger und rechnen deshalb im Dodezimalsystem (Basis 12). Als Steffi ihr ein Zahlenrätsel (Textaufgabe) schickt und Anna antwortet, ist Annas Lösung nur halb so groß wie Steffis. Was ist die kleinst-, was die größtmögliche Lösungszahl?

edit@Steffi: Ja, hat sie.
Mal ein Beispiel zum Verständnis: Wenn Steffi die Antwort "100" (dezimal) gesucht hätte, hätte ihr Anna "84" (dodezimal) zurückgeschrieben...
Dies ist natürlich nicht die echte Lösung, weil 84 nicht die Hälfte von 100 ist. (jetzt beides dezimal )

Ich hab ne Brieffreundin aufm Mars? hat die auch 6 Finger an jeder Hand?

Zitat:

Original von Guybrush Aktuell inspiriert: Steffi schreibt ihrer Brieffreundin Anna vom Planeten Mars. Dort haben alle zwölf Finger und rechnen deshalb im Dodezimalsystem (Basis 12). Als Steffi ihr ein Zahlenrätsel (Textaufgabe) schickt und Anna antwortet, ist Annas Lösung nur halb so groß wie Steffis. Was ist die kleinst-, was die größtmögliche Lösungszahl? edit@Steffi: Ja, hat sie. Mal ein Beispiel zum Verständnis: Wenn Steffi die Antwort "100" (dezimal) gesucht hätte, hätte ihr Anna "84" (dodezimal) zurückgeschrieben... Dies ist natürlich nicht die echte Lösung, weil 84 nicht die Hälfte von 100 ist. (jetzt beides dezimal )

gehe ich recht in der annahme, dass du nicht
ausschließlich ganzzahlige lösungen erwartest?