Zahlenrätsel (nicht nur) für Steffi

Wenn Papa am 29. Februar geboren ist, die 10..

So unwahrscheinlich ist 25 aber auch nicht. Papa kann doch mit 75 nomma Vater geworden sein und jetzt 100 sein. 40 und 55 denk ich sind nicht so wahrscheinlich....

Zitat:

Original von Guybrush Ein Drache, ein Hund und ein Igel kommen an eine Weide. Der Hund und der Igel fressen zusammen genauso viel Gras wie der Drache. Würden nur Drache und Hund grasen, wäre die Weide nach 30 Tagen abgegrast. Für Drache und Igel reicht das Gras 40 Tage und für Hund und Igel sogar für 60 Tage. Wie lange reicht das Gras für alle drei? Und wie lange für den Igel allein?

ich gehe mal einfach davon aus, dass nicht berücksichtigt werden soll, dass das gras in 60 tagen doppelt so viel gewachsen ist wie in 30 tagen, denn sonst wäre die aufgabe übelst schwer ....

meiner meinung nach hat der igel alleine 180 tage zeit, alle drei zusammen bekommen so etwa am nachmittag des 26. tages hunger.

Übelst schwer? Papperlapapp! Das musst Du sogar berücksichtigen, sonst gibt es gar keine Lösung. (nicht vergessen: Drache ist genauso schnell wie Hund und Igel zusammen)
Und man muss auch keine Differentialgleichungen o.ä. lösen, wenn Du das meinst...
Tipp: Der Igel kann gaaaanz lange Gras fressen.

Zitat:

Original von Guybrush Übelst schwer? Papperlapapp! Das musst Du sogar berücksichtigen, sonst gibt es gar keine Lösung. (nicht vergessen: Drache ist genauso schnell wie Hund und Igel zusammen) Und man muss auch keine Differentialgleichungen o.ä. lösen, wenn Du das meinst... Tipp: Der Igel kann gaaaanz lange Gras fressen.

wenn ich die täglich zunemende grasmenge berücksichtigen soll, muss ich dann nicht zumindest noch wissen, wieviel tage das gras bereits gewachsen ist zum zeitpunkt, wenn mit dem abgrasen begonnen wird?

und was ist mit der grasmenge, die an den stellen nachwächst, an denen bereits gegrast worden ist?

im moment habe ich so das gefühl, dass ich zwar aus der aufgabenstellung vier gleichungen bilden kann, dass ich aber 5 unbekannte habe:
die grasmengen, die drache, hund und igel jeweils täglich verputzen macht 3 unbekannte, die gesamtgrasmenge bzw. ausgangsgrasmenge ist die 4. unbekannte und der tägliche graszuwachs als 5. unbekannte.
und aus meiner schulmathezeit habe ich so dunkel in erinnerung, dass ich 5 gleichungen brauche, um 5 unbekannte eindeutig zu bestimmen.

habe ich da jetzt nen denkfehler drin?
wahrscheinlich - aber wo?

Kein Denkfehler, alles richtig argumentiert. Trotzdem kannst Du meine Fragen beantworten.

Wenn Du die hier löst, wird dir bestimmt klar warum:
Ein Fuchs jagt ein Schaf. Der Nachzügler sitzt im Zug und beobachtet das Geschehen. Der Zug fährt in 5 Sekunden am Fuchs vorbei, erreicht nach 21 Sekunden das Schaf und hat auch dieses nach weiteren 3 Sekunden überholt. Wie lange noch, bis der Fuchs das Schaf eingeholt hat?

Der Fuchs ist natürlich auch Vegetarier und will nur spielen...

Achja, bevor ichs wieder vergesse, GW an fuchs, hatte natürlich an Schaltjahre gedacht.

Zitat:

Original von Guybrush Mal eine altbekannte etwas verschärft: Steffi möchte ein 9-Minuten-Ei kochen. Sie hat aber nur zwei Sanduhren à 7 und à 11 Minuten. Wie kann sie exakt 9 Minuten stoppen?

Die ist einfacher als sie aussieht...
Ich mach mal den Anfang mit diesem Vorschlag:
Wir starten beide Sanduhren und drehen jeweils nach deren Ablaufen sofort um. Es ist 2*11 - 3*7 = 1, d.h. wir können exakt 1 Minute abstoppen zwischen Minute 21 und 22. Nehmen wir das ganze mal 9 erhalten wir:
18*11 - 27*7 = 9.
Voilà ein 9-Minuten-Ei nach 198min. = 3h 18min. (Ei ab Minute 189 kochen)
Naja, etwas lang, also probiert doch besser noch mal etwas herum.

edit

Zitat:

Original von Mütze Zitat: Original von Guybrush Ja, Du hast natürlich vollkommen recht. Hab ich doch wirklich eine Symmetrie übersehen. Also: max. 1680 Oktaeder sind in der Kiste. PS. Cunitza versteh ich immer noch nicht. Hast du mal versucht, auszurechnen, wieviele verschiedene Würfel mit 6 Farben eingefärbt werden können? Wir haben schon 30 Würfel mit 6 verschiedenen Farben. Es gibt 6 Würfel mit genau einer Farbe. Insgesamt komme ich damit auf Cunitza :-) Gruß, Mütze PS: Ein Herr namens G. P. aus Ungarn kann dir beim Ausrechnen behilflich sein.

Hallo,

ich denke Cunitza steht noch aus. Leider ist die Erklärung auch etwas
lang geraten

Cunitza ist ein Asteroid mit der Nummer 2226. Und es gibt 2226 verschiedene
Möcglichkeiten einen Würfel mit 6 Farben zu bemalen. Sechs Möglichkeiten
davon sind einfarbig, 30 Würfel mit 6 verschiedenen Farben sind darunter.

Semiramis und Marina sind zwei weitere Asteroiden mit den Nummern 584 und
1202. Das Produkt ist 701968, und das ist die Zahl der Möglichkeiten einen
Oktaeder mit 8 Farben einzufärben.

Wie man das berechnet steht auch in der Wikipedia (ich hab es leider nicht
auf deutsch gefunden):

http://en.wikipedia.org/wiki/Pólya_enumeration_theorem

Die wichtigste Zeile ist unter "Example computation: colored cubes" zu
finden (hier nur ähnlich):

Z = 1/24 * (t(1)^6 + 6*t(1)^2*t(4) + 3*t(1)^2*t(2)^2 + 8*t(3)^2 + 6*a(2)^3)

Nur mal kurz, wie man auf diese Formel kommt:

Die 24 Symmetrien eines Würfels kann man mit Hilfe von Permutationen
beschreiben. Die simpelste davon, ist die Identität, welche man z.B.
so schreiben kann:

Id = (o)(u)(l)(r)(v)(h)

Dies findet sich in der Formel als t(1)^6 wieder.

Legt man eine Drehachse durch den Mittelpunkt zweier gegenüberliegender
Flächen so ergeben sich drei weitere Permutationen:

(o)(u)(l v r h)
(o)(u)(l r)(v h)
(o)(u)(l h r v)

Die erste Zeile bedeutet, das die linke Fläche nach vorne, die vordere
nach rechts, die rechte nach hinten und die hintere Fläche nach links
wandert. Dies beschreibt also eine Drehung um 90°.

Es gibt drei Achsen durch die 6 Seitenmittelpunkte. Damit ergeben sich in
der Formel:

6 * t(1)^2 * t(4) + 3 * t(1)^2 * t(2)^2

Wenn man die noch verbliebenen Permutationen findet, so ergibt sich:

8 * t(3)^2 + 6 * a(2)^3

Alle Teile addiert und durch 24 geteilt (wegen der 24 Symmetrien), ergibt
die obige Formel.

Setzt man nun t(i) = 6, so ergibt sich: Z=2226. Entsprechend bekommt man
heraus, dass man mit 2 Farben 10 verschiedene Würfel färben kann (darunter
auch zwei einfarbige), oder mit 7 Farben 5390 verschiedene (darunter 7
einfarbige).

Aber die Formel kann noch mehr. Hat man die Farben: ahorngrün, blau,
chili-rot, dottergelb, eierschalengrau und ferkelrosa so kann man setzen:

t(i) = (a^i + b^i + c^i + d^i + e^i + f^i)

und bekommt nach dem Auflösen eine elend lange Formel (sehr stark verkürzt):

Z=a^6+a^5*b+a^5*c+a^5*d+a^5*e+a^5*f+2*a^4*b^2+2*a^4*b*c+2*a^4*b*d+
...
15*a*b*c*d*e^2+30*a*b*c*d*e*f+15*a*b*c*d*f^2+5*a*b*c*e^3+15*a*b*c*e^2*f+
...
e^6+e^5*f+2*e^4*f^2+2*e^3*f^3+2*e^2*f^4+e*f^5+f^6

Man erkennt also die 30 sechsfarbigen Würfel, sowie z.B. dass es nur einen
Würfel gibt, der auf fünf Seiten ferkelrosa und auf der sechsten Seite
eierschalengrau ist.

Um die Formel auszurechnen, empfehle ich ein Computer Algebra System
zu benutzen. Ich habe hierfür "yacas" verwendet.

Die Berechnung für den Oktaeder überlasse ich dem Leser zur Übung Dieser
Post ist sowieso schon lang genug.


Gruß,
Mütze

nein, ich geb mir jetzt keine Mühe, das alles zu verstehen

Wow, Super-Post, Mütze! Auf deutsch hab ich zwar was bei Google books gefunden, aber da muss man auch erst die 200 Seiten davor lesen, um die halbe Seite Argumentation zu verstehen.

Hier noch zwei schnelle:
a) Finde eine Milliarde aufeinanderfolgende Zahlen, von denen keine eine Primzahl ist.
b) Bilde aus den Ziffern 1-9 die zwei Zahlen mit dem größtmöglichen Produkt. (Verwende jede Ziffer genau einmal.)

Zitat:

Original von Guybrush Wow, Super-Post, Mütze! Auf deutsch hab ich zwar was bei Google books gefunden, aber da muss man auch erst die 200 Seiten davor lesen, um die halbe Seite Argumentation zu verstehen. Hier noch zwei schnelle: a) Finde eine Milliarde aufeinanderfolgende Zahlen, von denen keine eine Primzahl ist. b) Bilde aus den Ziffern 1-9 die zwei Zahlen mit dem größtmöglichen Produkt. (Verwende jede Ziffer genau einmal.)

Zu a)
Wie wäre es mit den Zahlen -1000000000 bis -1?

Zu b)
Mein Produkt wäre im ersten Versuch: 843973902. Aber ich weiß nicht,
ob's stimmt, habe nur ein wenig herumprobiert.

Zitat:

Original von Mütze Zu a) Wie wäre es mit den Zahlen -1000000000 bis -1? Zu b) Mein Produkt wäre im ersten Versuch: 843973902. Aber ich weiß nicht, ob's stimmt, habe nur ein wenig herumprobiert.

a) Ich meinte mit Zahlen natürlich natürliche Zahlen.

b) Jepp, das Produkt hab ich auch. Um zu sehen, dass es das größte ist, fang einfach mit 9 x 8 an und füge die anderen Zahlen hinten an.

Zitat:

Original von Guybrush Ein Drache, ein Hund und ein Igel kommen an eine Weide. Der Hund und der Igel fressen zusammen genauso viel Gras wie der Drache. Würden nur Drache und Hund grasen, wäre die Weide nach 30 Tagen abgegrast. Für Drache und Igel reicht das Gras 40 Tage und für Hund und Igel sogar für 60 Tage. Wie lange reicht das Gras für alle drei? Und wie lange für den Igel allein?

Sei
G: Gras am Anfang auf der Weide,
W: Gras, das an einem Tag auf der Weide wächst,
D: Gras, das der Drache an einem Tag frisst,
H: Gras, das der Hund an einem Tag frisst,
I: Gras, das der Igel an einem Tag frisst.
Der Text lautet in Gleichungen:
D = H + I
30 ( D + H - W ) = G
45 ( D + I - W ) = G
60 ( H + I - W ) = G
Löst man nach allem außer G auf, bekommt man:
H = G / 60
I = W = G / 120
D = G / 40
Der Igel frisst also genauso schnell, wie das Gras nachwächst, kann also unendlich lang auf der Weide leben.
Für alle drei reicht die Weide für 24 Tage:
N * ( D + H + I - W ) = G
-> N = 24

Zitat:

Original von Guybrush Zitat: Original von Guybrush Ein Drache, ein Hund und ein Igel kommen an eine Weide. Der Hund und der Igel fressen zusammen genauso viel Gras wie der Drache. Würden nur Drache und Hund grasen, wäre die Weide nach 30 Tagen abgegrast. Für Drache und Igel reicht das Gras 40 Tage und für Hund und Igel sogar für 60 Tage. Wie lange reicht das Gras für alle drei? Und wie lange für den Igel allein? Sei G: Gras am Anfang auf der Weide, W: Gras, das an einem Tag auf der Weide wächst, D: Gras, das der Drache an einem Tag frisst, H: Gras, das der Hund an einem Tag frisst, I: Gras, das der Igel an einem Tag frisst. Der Text lautet in Gleichungen: D = H + I 30 ( D + H - W ) = G 45 ( D + I - W ) = G 60 ( H + I - W ) = G Löst man nach allem außer G auf, bekommt man: H = G / 60 I = W = G / 120 D = G / 40 Der Igel frisst also genauso schnell, wie das Gras nachwächst, kann also unendlich lang auf der Weide leben. Für alle drei reicht die Weide für 24 Tage: N * ( D + H + I - W ) = G -> N = 24

juhuuuu, wir können ewig leben

Zitat:

Original von Guybrush Zitat: Original von Mütze Zu a) Wie wäre es mit den Zahlen -1000000000 bis -1? Zu b) Mein Produkt wäre im ersten Versuch: 843973902. Aber ich weiß nicht, ob's stimmt, habe nur ein wenig herumprobiert. a) Ich meinte mit Zahlen natürlich natürliche Zahlen. b) Jepp, das Produkt hab ich auch. Um zu sehen, dass es das größte ist, fang einfach mit 9 x 8 an und füge die anderen Zahlen hinten an.

Zu a) Dann war deine Aufgabenstellung ungenau. Aber vielleicht bist
du mit den Zahlen 4, 6, 8, ... 2000000002 einverstanden? Die folgen
auch aufeinander

Zu b) Genau das habe ich auch gemacht. Aber kannst du es auch beweisen?
Ich kann es bisher nicht.

a) Hm, dann war ich wieder ungenau. Mit "aufeinanderfolgend" meine ich direkte Nachfolger, also z.B. 7, 8, 9, 10, usw.

b) Ich versuchs mal: (1 und 2 sollte nachvollziehbar sein)
1. Die beiden Zahlen haben natürlich abfallend angeordnete Ziffern. (952 > 925)
2. Die beiden Anfangsziffern sind 9 und 8.
3. Wenn man eine Zahl an einen Faktor eines Produkts anhängt, sollte man das bei der kleineren tun, wenn das Produkt maximal werden soll:
Sei a > b. Anhängen der Ziffer c gibt entweder
(10a + c) * b = 10ab + bc
oder
a * (10b + c) = 10ab + ac
Letzteres ist größer, da a > b.
Wegen des ersten Summanden 10ab und a,b > c kann man schrittweise weitermachen ohne vorherige Ziffern umsortieren zu müssen.

Zitat:

Original von Guybrush Mal eine altbekannte etwas verschärft: Steffi möchte ein 9-Minuten-Ei kochen. Sie hat aber nur zwei Sanduhren à 7 und à 11 Minuten. Wie kann sie exakt 9 Minuten stoppen?

Die schnellste mir bekannte Lösung dauert 20 min.:
Minute 0) Dreh beide Sanduhren um.
Minute 7) Dreh 7-Sanduhr um.
11) Dreh 11-Sanduhr um und fang an, das Ei zu kochen.
14) Dreh 7-Sanduhr und 11-Sanduhr (3 min. abgelaufen) um.
17) Dreh 7-Sanduhr (3 min. abgelaufen) um.
20) Sobald 7-Sanduhr durchgelaufen ist, hat man ein 9-Minuten-Ei.

Langsame Woche? Oder habt ihr alle zuviel Spaß, Passbilderb(u)ilder zu sein?

Zitat:

Original von Guybrush Ein Fuchs jagt ein Schaf. Der Nachzügler sitzt im Zug und beobachtet das Geschehen. Der Zug fährt in 5 Sekunden am Fuchs vorbei, erreicht nach 21 Sekunden das Schaf und hat auch dieses nach weiteren 3 Sekunden überholt. Wie lange noch, bis der Fuchs das Schaf eingeholt hat?

Textinfo:
- Der Zug holt in 5 Sekunden eine Zuglänge auf den Fuchs auf.
- Der Zug holt in 3 Sekunden eine Zuglänge auf das Schaf auf, lag also vor den 21 Sekunden 7 Zuglängen hinter dem Schaf (der Fuchs also 8 Zuglängen).
- Also holt der Fuchs in 15 Sekunden 2 Zuglängen auf das Schaf auf.

Der Fuchs braucht, nachdem ihn der Zug gerade überholt hat, damit 60 Sekunden (für 8 Zuglängen), das Schaf einzuholen, zum Zeitpunkt, an dem der Text endet, also noch 36 Sekunden.

Zitat:

Original von Guybrush a) Finde eine Milliarde aufeinanderfolgende Zahlen, von denen keine eine Primzahl ist.

Die (N-1) Zahlen N! + 2, N! + 3, ..., N! + N sind durch 2, 3, ..., N teilbar, also nicht prim.
-> Wähle N = 1.000.000.001

Zitat:

Original von Guybrush Zitat: Original von Guybrush a) Finde eine Milliarde aufeinanderfolgende Zahlen, von denen keine eine Primzahl ist. Die (N-1) Zahlen N! + 2, N! + 3, ..., N! + N sind durch 2, 3, ..., N teilbar, also nicht prim. -> Wähle N = 1.000.000.001

Warum?