Zahlenrätsel (nicht nur) für Steffi

Zitat:

Original von aranja (anmerkung: das seitenverhältnis der schwedischen flagge ist 16 : 10, nicht 15 : 10.)

Das Farbverhältnis ist sicher auch nicht 1:1 !!!

Aber ich will mich nicht über solche Bemerkungen mokieren, die sind ja hier üblich.

Für die Aufgabe war das Seitenverhältnis doch unwichtig, aber die 17,4306cm sind natürlich richtig

Hm, ich mach mal ne Beweisskizze. Sonst wirds schnell technisch.
Also erstmal gucke ich mir die ersten paar Möglichkeiten an: (s=senkrechtes Rechteck, w=2 waagerechte Rechtecke)
n=1: s
n=2: ss, w
n=3: sss, ws, sw
n=4: ssss, wss, sws, ssw, ww
Nennt man die Möglichkeitenzahl bei n M_n, dann ist M_n+1=M_n+M_n-1, denn man kann mit n+1 Rechtecken entweder an die M_n schon bekannten Konstellationen für n einfach ein s anhängen (erster Summand) oder bei den M_n-1 Konstellationen die mit einem s enden, letzteres zu einem w kippen.

Es fehlen ein paar Zwischenschritte zur "full-fledged" vollständigen Induktion, aber ich denke man kann das Argument verstehen.

Zitat:

Original von fuchs Zitat: Original von aranja (anmerkung: das seitenverhältnis der schwedischen flagge ist 16 : 10, nicht 15 : 10.) Das Farbverhältnis ist sicher auch nicht 1:1 !!! Aber ich will mich nicht über solche Bemerkungen mokieren, die sind ja hier üblich. Für die Aufgabe war das Seitenverhältnis doch unwichtig, aber die 17,4306cm sind natürlich richtig

immer locker, fuchs... warum reagierst du so empfindlich?

habe ich etwas falsches gesagt, womit ich dich verärgert habe?

Zitat:

Original von Guybrush Hm, ich mach mal ne Beweisskizze. Sonst wirds schnell technisch. Also erstmal gucke ich mir die ersten paar Möglichkeiten an: (s=senkrechtes Rechteck, w=2 waagerechte Rechtecke) n=1: s n=2: ss, w n=3: sss, ws, sw n=4: ssss, wss, sws, ssw, ww Nennt man die Möglichkeitenzahl bei n M_n, dann ist M_n+1=M_n+M_n-1, denn man kann mit n+1 Rechtecken entweder an die M_n schon bekannten Konstellationen für n einfach ein s anhängen (erster Summand) oder bei den M_n-1 Konstellationen die mit einem s enden, letzteres zu einem w kippen. Es fehlen ein paar Zwischenschritte zur "full-fledged" vollständigen Induktion, aber ich denke man kann das Argument verstehen.

ja, sieht unmittelbar einleuchtend aus, imo.

ist dir übrigens aufgefallen, dass die zahlen der sich ergebenden möglichkeiten der fibonacci-folge entsprechen? verblüffend, nicht?

Ja, und deren Verhältnis geht im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt. Nichts ist so wie es scheint.

Zitat:

Original von Guybrush So, auf die Gefahr hin, von einem gewissen Herrn mit enzyklopädischem Wissen aller möglichen mathematischen Problemstellungen getadelt zu werden, mal eins, das ich schön fand: Aranja, Steffi und Rgm bekommen von Guybrush je einen Zettel mit einer natürlichen Zahl (1, 2, 3, ...). Außerdem wissen sie, dass die Summe der Zahlen 14 ist. Folgender Dialog findet statt: Aranja: "Ich weiß, dass eure Zahlen verschieden sind!" Steffi: "Ich wusste schon, dass wir alle verschiedene Zahlen haben." Rgm: "Aha! Jetzt kenne ich alle drei Zahlen!" Welche Zahlen haben die drei? Oje, sorry hatte mich in meiner Hast vertippt. Jetzt stimmt die Aufgabe.

so... die vorbereitungen für das mittagsessen sind abgeschlossen.

ein interessantes rätsel ist das, Guybrush. habe eine ahnung,
was die lösung sein könnte, kann sie aber nicht begründen.
es gibt insgesamt folgende 10 möglichkeiten, mit drei verschiedenen
natürlichen zahlen die summe 14 zu bilden:

1+2+11
1+3+10
1+4+9
1+5+8
1+6+7

2+3+9
2+4+8
2+5+7

3+4+7
3+5+6

9 davon bestehen aus zwei ungeraden und einer geraden zahl.
einzig die möglichkeit 2+4+8 besteht nur aus geraden zahlen.
ich tippe aufgrund ihrer ausnahmestellung auf diese möglichkeit als lösung.
mal schaun, ob mir dazu noch eine begründung einfällt.

inzwischen kann sich wer mag hieran versuchen:

gegeben sei ein gleichseitiges dreieck der seitenlänge 2.
in diesem dreieck liegen 5 punkte.

zeige, dass mindestens zwei dieser punkte
voneinander einen abstand < 1 haben müssen!

schnell noch ein kleines, dann muss ich erstmal fort:

Steffi wohnt in A, Guybrush wohnt in B.
beide orte sind 60 km voneinander entfernt
und durch eine gerade straße verbunden.
eines tages fahren Steffi und Guybrush beide zur
gleichen zeit mit dem fahrrad von ihrem wohnort
los und auf direktem weg zum wohnort des anderen
(sie fahren also geradewegs aufeinander zu).

Guybrush fährt mit 25 km/h recht schnell,
Steffi fährt mit 15 km/h lieber gemächlicher.
zum gleichen zeitpunkt, zu dem beide starten,
startet von guybrushs nasenspitze auch noch
eine fliege mit richtung auf Steffis nasenspitze.
während die beiden also aufeinander zufahren,
bewegt sich die fliege ständig von einer nasenspitze
zur anderen. die geschwindigkeit der fliege beträgt
60 km/h. alle geschwindigkeiten sind konstant.

frage:
welche strecke hat die fliege insgesamt zurückgelegt,
wenn sich Steffi und Guybrush begegnen?

einzig die möglichkeit 2+4+8 besteht nur aus geraden zahlen.
ich tippe aufgrund ihrer ausnahmestellung auf diese möglichkeit als lösung

da bin ich anderer Meinung
da aranja beginnt, und sagt "eure Zahlen sind verschieden", muß die Zahl von aranja ungerade sein, oder ?

Steffi sagt sie wüßte, dass alle Zahlen verschieden sind,
das kann sie nur behaupten, wenn sie die 11, 9 oder 7 hat, oder ?

folglich ist die Zahl von rgm gerade, aber in der Kombi gibt es imho keine eindeutige Lösung

Zitat:

Original von rgm einzig die möglichkeit 2+4+8 besteht nur aus geraden zahlen. ich tippe aufgrund ihrer ausnahmestellung auf diese möglichkeit als lösung da bin ich anderer Meinung da aranja beginnt, und sagt "eure Zahlen sind verschieden", muß die Zahl von aranja ungerade sein, oder ?

aus der aussage von aranja folgt nicht,
daß ihre eigene zahl ungerade sein muss.

aranja: 2
Steffi: 4
rgm: 8

(summe 14, aranjas zahl gerade, alle zahlen gerade, alle verschieden.)

wenn aranja die 2 hat, könnt Steffi aber die 6 und rgm die 6 haben,
folglich kann aranja nicht behaupten das die Zahlen unterschiedlich sind
das ist zwar möglich, aber nicht zwangsläufig so



EDIT : die einzige Möglichkeit, bei der rgm die Zahlen wissen kann, ist wenn er die 1 hat, dabei weiß er aber immer noch nicht wer die 9 und die 3 hat

Zitat:

Original von rgm wenn aranja die 2 hat, könnt Steffi aber die 6 und rgm die 6 haben, folglich kann aranja nicht behaupten das die Zahlen unterschiedlich sind das ist zwar möglich, aber nicht zwangsläufig so

ich setze natürlich voraus, dass Steffi nicht lügt,
dass also alle drei zahlen tatsächlich verschieden sind.
dann können Steffi und rgm nicht die gleichen zahlen (6) haben.

nun, ich ging davon aus, dass aranja anfängt mit der Behauptung
und somit nicht wissen kann, was Steffi sagt, die Behauptung von aranja muß also für sich richtig sein

Zitat:

Original von rgm nun, ich ging davon aus, dass aranja anfängt mit der Behauptung und somit nicht wissen kann, was Steffi sagt, die Behauptung von aranja muß also für sich richtig sein

meine überlegung war zunächst die gleiche wie deine
(aranjas zahl muss ungerade sein). aufgrund von Steffis
aussage habe ich dann meine meinung geändert.
aber ich glaube jetzt, das hätte ich nicht tun sollen.
dein argument ist überzeugend. zum zeitpunkt ihrer
eigenen aussage kannte aranja Steffis aussage noch nicht.
kurzum - du hast recht: aranjas zahl muss ungerade sein, sonst
hätte sie ihre aussage nicht mit bestimmtheit so treffen können.

Zitat:

Original von rgm wenn aranja die 2 hat, könnt Steffi aber die 6 und rgm die 6 haben, folglich kann aranja nicht behaupten das die Zahlen unterschiedlich sind das ist zwar möglich, aber nicht zwangsläufig so EDIT : die einzige Möglichkeit, bei der rgm die Zahlen wissen kann, ist wenn er die 1 hat, dabei weiß er aber immer noch nicht wer die 9 und die 3 hat

du meinst wahrscheinlich 9 und 4 (nicht 9 und 3).
aber muss denn rgm die zuordnung der zahlen
zu den personen überhaupt wissen?
schließlich sagt er doch nur, dass er alle drei zahlen kennt.
er sagt nicht, dass er weiß, wer welche zahl hat.

natürlich 4

dann gehts natürlich net, weil ja aranjas und Steffis ungerade sind

folglich bleibt als einzige Möglichkeit, rgm hat die 10 und die anderen beiden sind 1 und 3

Schöne Diskussion.
Aber im Prinzip braucht ihr (aranja und rgm) nur eure jeweils ersten Posts zur Aufgabe kombinieren, dann kriegt ihr die Lösung raus.

Zitat:

Original von aranja inzwischen kann sich wer mag hieran versuchen: gegeben sei ein gleichseitiges dreieck der seitenlänge 2. in diesem dreieck liegen 5 punkte. zeige, dass mindestens zwei dieser punkte voneinander einen abstand < 1 haben müssen!

Ich kann sogar 6 Punkte auf dem Dreieck unterbringen, ohne dass zwei Abstand < 1 haben.
Jaja, du meinst wahrscheinlich das strenge "in"...

also gut, letzter Versuch

die Zahlen sind 7, 1 und 6

Zitat:

Original von Guybrush Zitat: Original von aranja inzwischen kann sich wer mag hieran versuchen: gegeben sei ein gleichseitiges dreieck der seitenlänge 2. in diesem dreieck liegen 5 punkte. zeige, dass mindestens zwei dieser punkte voneinander einen abstand < 1 haben müssen! Ich kann sogar 6 Punkte auf dem Dreieck unterbringen, ohne dass zwei Abstand < 1 haben. Jaja, du meinst wahrscheinlich das strenge "in"...

so ist es. in = innerhalb der begrenzungslinien, nicht darauf.
sonst hättest du natürlich recht.

Zitat:

Original von rgm also gut, letzter Versuch die Zahlen sind 7, 1 und 6

GW, rgm. Verschärfte Variante kommt sofort.